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【波动光学要点】光的衍射
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光的衍射
1. 惠更斯-菲涅尔原理
波阵面上各点发出的次级子波在空间中叠加，叠加区域的各点的波的强度由这些子波的相干叠加决定。
2. 衍射的类型
按照光源，障碍物和接受屏三者之间的相对位置的不同，衍射可以分为两种类型，分别是菲涅尔衍射（近场衍射）和夫琅禾费衍射（远场衍射），在夫琅禾费衍射中，光源和接受屏与障碍物的距离无限远，因此对障碍物来说，光是平行光，这类衍射较为简单。
3. 单缝的夫琅禾费衍射
菲涅尔半波带法
单缝衍射的明暗纹分布的规律是根据菲涅尔半波带法得到的，简单说明如下：
首先，光屏上的坐标点与经过单缝时的衍射角是一一对应的，这使得我们只需要分析特定的衍射角的光，即可得出对应的坐标点上的相干情况。
其次，找出最大光程差。对特定的衍射角的光来说，它们在经过单缝时，彼此之间存在一个最大光程差
\[\overline{BC}=\overline{AB}\sin\theta\]上式中的 $\overline{AB}$ 常用 $a$ 表示，即 $a\sin\theta$ ，其中 $\theta$ 为衍射角。
接着，将这个最大光程差 $\overline{BC}$ 按照 $\cfrac{\lambda}{2}$ 一份等分，从等分点作 $BC$ 的垂线将缝宽分成相应数目的带——我们称之为半波带。相邻的半波带里的光线从上到下一一对应，它们的光程差都是 $\cfrac{\lambda}{2}$ ，干涉相消。因此，如果半波带的个数是偶数个，则汇聚点 $P$ 点为暗纹；而如果是奇数，则 $P$ 点为明纹，若处于非整数，则处于明暗之间的过渡区域。
由此得到半波带法给出的条纹分布规律，即
\[a\sin\theta=\left\{\begin{aligned} \pm(2k+1)\cfrac{\lambda}{2}\ \ (k=1,2,...)明文 \\ \pm k\lambda\ \ (k=1,2,...)暗纹\\ \end{aligned}\right.\]中央明纹的半角宽度：中央明纹的半角宽度 $\theta_1$ 就是1级暗纹的衍射角，因此 $a\sin\theta_1=\lambda$ ，故中央明纹的半角宽度为（若角度很小则可取近似）
\[\theta_1=\cfrac{\lambda}{a}\]因此得出中央明纹的线宽度为
\[\Delta x_0=2f\times\theta_1=2f\cfrac{\lambda}{a}\]其中 $f$ 为透镜的焦距。
其他级条纹的角宽度和线宽度：考察 $k$ 级和 $k+1$ 级，他们的衍射角分别满足（此处以暗纹为例）
\[\left\{\begin{aligned} a\sin\theta_k=k\lambda \\ a\sin\theta_{k+1}=(k+1)\lambda\\ \end{aligned}\right.\]当衍射角都比较小时，可以近似得到
\[\left\{\begin{aligned} \Delta\theta=\theta_{k+1}-\theta_k\approx\cfrac{\lambda}{a} \\ \Delta x=x_{k+1}-x_{k}\approx f\cfrac{\lambda}{a} \\ \end{aligned}\right.\]结论适用于除中央明纹之外的所有明、暗纹。
4. 圆孔的夫琅禾费衍射
艾里斑：圆孔衍射的中央亮斑，它的半角宽度，也就是第一级暗纹的衍射角是
\[\sin\theta_1=1.22\cfrac{\lambda}{D}\]其近似的半角宽度为
\[\theta_1\approx\sin\theta_1=1.22\cfrac{\lambda}{D}\]瑞利判据：当一个物点的艾里斑的中心刚好与另一个物点的艾里斑边缘（也就是衍射图样的第一级极小）重合时，这两个物点恰好能被该光学仪器所分辨。
光学仪器的分辨本领：当两个物点恰好能被光学仪器分辨时，它们的连线对仪器的中心的张角被称为最小分辨角
\[\delta\theta=1.22\cfrac{\lambda}{D}\]该角度的倒数被定义为该仪器的分辨本领
\[R=\cfrac{1}{\delta\theta}=\cfrac{D}{1.22\lambda}\]5. 光栅衍射
光栅概念：具有周期间隔的透光和不透光的结构，能够等间隔等宽的分割波阵面，称之为光栅。其透光的部分的宽度为 $a$ ，不透光的部分的宽度为 $b$ ，二者之和 $d=a+b$ 被称之为光栅常数。
光栅方程：单缝衍射和多缝干涉综合作用的结果，即单缝衍射背景下的多光束干涉，主极大条纹的位置是由光栅方程
\[d\sin\theta=\pm k\lambda\ \ (k=0,1,2,...)\]决定。但也要受到单缝衍射条纹的调制作用。如下图所示，紫色代表纯粹多缝干涉的光强分布，蓝色代表单缝衍射的光强分布，红色为两种效应同时存在所导致的光栅衍射，主极大条纹的亮度不再均匀，且可能会缺级。
缺级公式：当某一个主极大的衍射角与单缝衍射的某个暗纹的衍射角相等时，该主极大条纹将不出现，这就是所谓的缺级现象。即存在一个角度 $\theta$ 同时满足单缝衍射的暗纹公式 $a\sin\theta=k\lambda$ 和光栅方程 $d\sin\theta=k’\lambda$ ，故有 光栅衍射图样的特点：
\[k'=\cfrac{a+b}{a}k\ \ (k=1,2,3,...)\]- 条纹具有亮，细，稀疏的特点，衍射角不大的情况下，条纹等间距分布。
- 两个相邻的主极大亮纹之间有 $N-1$ 个暗纹，有 $N-2$ 个次级亮纹。
6. X 射线衍射
X射线：一种波长很短的电磁波，由伦琴发现。
布拉格公式：给出X射线的衍射亮纹对应的衍射角满足的规律
\[\delta=2d\sin\theta=k\lambda\ \ (k=1,2,3,...)\]其中 $d$ 为晶格常数， $\theta$ 为衍射角。
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