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【原创趣题】流血的高坤
流血的高坤
从前有一个圆胖的小人, 他的名字叫高坤, 他的质量为 $M_0$ , 其中血液的质量为 $m_0$ , 满足 $m_0<M_0$ . 这天, 高坤不小心从一个受伤了, 开始不断流血, 单位时间内流出的血质量为 $k$ , 是一个定值. 现在他由静止从斜坡滑下, 他什么时候会流完血并且噶掉? 为了简化这个问题, 我们建立一个模型. $t=0$ 时一个质量为 $M_0$ 小物块从倾角为 $\theta$ 的固定斜面由静止滑下的同时流血并且血会留在斜面上原地. 小物块与斜面的摩擦系数为 $\mu$ , 重力加速度为 $g$ . 若斜面足够高, 那么他血恰巧流光时的位置在哪里?
解答
由密舍尔斯基方程
\[M\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}=F-v\dfrac{\text{d}M}{\text{d}t}\tag{1}\]将
\[M=M_0-kt,\ \dfrac{\text{d}M}{\text{d}t}=-k,\ F=Mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)\]代入得
\[(M_0-kt)\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}=kv+(M_0-kt)g(\sin\theta-\mu\cos\theta)\tag2\]又有
\[\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}M}\dfrac{\text{d}M}{\text{d}t}=-k\dfrac{\text{d}v}{\text{d}M}\]故
\[-kM\dfrac{\text{d}v}{\text{d}M}=kv+Mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)\tag3\]记
\[A=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)\]从而
\[(kv+AM)\text{d}M+kM\text{d}v=0\]改写一下方程
\[k\text{d}(Mv)+AM\text{d}M=0\]这是一个全微分方程, 代入初始条件 $M=M_0$ , $v=0$ , 从而
\[kMv+\dfrac12AM^2=\dfrac12M_0^2\]计算得
\[v=\dfrac{A}{2k}\cdot\dfrac{M_0^2-M^2}{M}\]代入化简得
\[v=\dfrac{A}{2}\cdot\dfrac{2M_0-kt}{M_0-kt}t\tag6\]又有
\[v=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}\]代入 $(6)$ 得
\[\text{d}x=\dfrac{A}{2}\cdot\dfrac{2M_0-kt}{M_0-kt}t\text{d}t\tag7\]两边积分
\[x(t)=\dfrac{A}{2}\int^t_0\dfrac{2M_0-kt}{M_0-kt}t\text{d}t\]得到
\[x(t)=\dfrac{g(\sin\theta - \mu\cos\theta)}{4k^2} \left[ k^2 t^2 - 2k M_0 t + 2M_0^2 \ln\left(\frac{M_0}{M_0 - kt}\right) \right]\tag8\]接下来, 对这个式子进行一下讨论
$1\degree$ 若 $\mu \gt \tan\theta$ , 则小物块根本不会滑动
\[\boxed{x_f=0}\tag9\]$2\degree$ 若 $\mu\leq\tan\theta$ , 小物块可以滑动
小物块停止滑动时, 有
\[t^*=\dfrac{m_0}{k}\tag{10}\]则小物块停在
\[\boxed{x_f=x(t^*)=\dfrac{g(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{4k^2} \left[ m_0^2 - 2M_0 m_0 + 2M_0^2 \ln\left(\frac{M_0}{M_0 - m_0}\right) \right]}\tag{11}\]
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